钟文志的架构师之路

十字相乘

十字相乘法是一种用于因式分解二次多项式的技巧，特别适用于形式为 $(a x^{2} + b x + c)$ 的多项式，其中 a、b和c是系数，且 $(a \neq 1)$ 。这种方法通过寻找两个数，这两个数的乘积等于 $(a c)$ 、 $(a)$ 与 $(c)$ 的乘积），且它们的和等于 $(b)$ （中间项的系数），来帮助我们将中间项分解成两项，从而使因式分解过程更加直观和简单。

步骤

以下是使用十字相乘法因式分解二次多项式的步骤：

确定 (a)、(b)、和 (c) ：首先，识别出多项式 $(a x^{2} + b x + c)$ 的系数 $(a)$ 、 $(b)$ 和 $(c)$ 。
计算 (ac) ：计算 $(a)$ 和 $(c)$ 的乘积。
寻找因数对：找出两个数的对，使得这两对数的乘积等于 $(a c)$ ，且它们的和等于 $(b)$ 。
分解中间项：使用找到的两个数将中间项 $(b x)$ 分解成两个部分。
分组和因式分解：将四项式按照共同因子进行分组，并分别对每组进行因式分解。
提取公共因子：如果操作正确，两组将会有一个共同的因式。提取这个公共因子，完成整个因式分解。

例子

让我们通过一个例子来说明这个过程：因式分解 $(6 x^{2} + 13 x + 6)$ 。

系数识别： $[a = 6, b = 13, c = 6]$
计算 (ac) ： $[a c = 6 \times 6 = 36]$
寻找因数对：寻找乘积为 36，和为 13 的数对，我们找到了 9 和 4。因为 $(9 \times 4 = 36)$ 且 $(9 + 4 = 13)$
分解中间项： $[6 x^{2} + 9 x + 4 x + 6]$
分组和因式分解： $[(6 x^{2} + 9 x) + (4 x + 6)] [3 x (2 x + 3) + 2 (2 x + 3)]$
提取公共因子： $[(3 x + 2) (2 x + 3)]$

这样，我们就完成了 $(6 x^{2} + 13 x + 6)$ 的因式分解。使用十字相乘法可以有效地简化因式分解过程，尤其是在处理更复杂的多项式时。

因式定理

因式定理是一个重要的代数定理，它提供了一个检查多项式是否可以被某个线性因式整除的方法。这个定理非常有用，特别是在因式分解多项式时。

线性因式是指以一次多项式为因式的多项式。通常表示为 $a x + b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数， $x$ 是变量。

定理内容

因式定理指出：如果多项式 ( $P (x)$ ) 除以 ( $(x - a)$ ) 的余数为 0，则 $(x = a)$ 是多项式 ( $P (x)$ ) 的一个根，或者说 ( $(x - a)$ ) 是 ( $P (x)$ ) 的一个因子。

如何使用因式定理

选择一个数 ( a ) ：选择一个数 $a$ ，并代入多项式 $P (x)$ 中。
计算 ( P(a) ) ：计算 $P (a)$ 的值。如果 $P (a) = 0$ ，则 $x = a$ 是 $P (x)$ 的一个根。
因式分解：如果 $P (a) = 0$ ，则可以确定 $(x - a)$ 是 $P (x)$ 的一个因子。接下来可以使用多项式的除法或其他因式分解方法来进一步分解 $P (x)$ 。

例子

考虑多项式 $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ 。我们可以使用因式定理来检查 $x = 1$ 是否是它的根。

代入 ( a = 1 ) ：
$[P (1) = 1^{3} - 4 \times 1^{2} + 5 \times 1 - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0]$
( P(1) = 0 ) ：由于 $P (1) = 0$ ，我们可以确定 $x = 1$ 是 $P (x)$ 的根，且 $(x - 1)$ 是 $P (x)$ 的一个因子。
因式分解：接下来，我们可以通过多项式除法（或使用合适的因式分解方法）找出 $P (x)$ 中 $(x - 1)$ 以外的因子。例如，进行多项式除法： $[(x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2) \div (x - 1) = x^{2} - 3 x + 2]$

这样，我们就成功使用因式定理来识别和分解了多项式 $P (x)$ 。因式定理是理解和应用多项式根与因式关系的基础，对于高级数学和工程问题中的多项式分析极为重要。

什么是根？

在数学中，根通常指的是方程的解，特别是对于多项式方程而言。对于一个多项式 $P (x)$ ，如果存在一个数 $a$ ，使得 $P (a) = 0$ ，那么我们称 $a$ 是多项式 $P (x)$ 的一个根。

举个例子，考虑多项式 $P (x) = x^{2} - 4$ 。我们可以代入 $x = 2$ 和 $x = - 2$ 来检查是否满足 $P (x) = 0$ 。如果满足，那么 $x = 2$ 和 $x = - 2$ 就是多项式 $P (x)$ 的根。

根也可以是复数。例如，多项式 $Q (x) = x^{2} + 1$ 在实数范围内没有根，但在复数范围内有两个根，即 $x = i$ 和 $x = - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位。

根的概念在数学中的许多领域都很重要，包括代数、微积分、以及工程和物理学中的应用。

题库

(2010年1月)多项式 $x^{3} + a x^{2} + b x - 6$ 的两个一次因式是 $x - 1$ 和 $x - 2$ ,则其第三个一次因式为（）

(2012年1月) 若 $x^{3} + x^{2} + a x + b$ 能被 $x^{2} - 3 x + 2$ 整除则().

\begin{aligned} A . a = 4, b = 4 & B . a = - 4, b = - 4 \\ C . a = 10, b = - 8 & D . a = - 10, b = - 8 \\ E . a = - 2, b = 0 \end{aligned}

(2010年10月)[ $a x^{3} - b x^{2} + 23 x - 6$ 能被 $(x - 2) (x - 3)$ 整除()

\begin{aligned} (1) a = 3, b = - 16. \\ (2) a = 3, b = 16. \end{aligned}

(2009年10月) 二次三项式 $x^{2} + x - 6$ 是多项式 $2 x^{4} + x^{3} - a x^{2} + b x + a + b - 1$ 的一个因式()

\begin{aligned} (1) a = 16 \\ (2) b = 2. \end{aligned}

[2009年1月] $2 a^{2} - 5 a - 2 + \frac{3}{a^{2} + 1} = - 1$ .

$(1) a$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根 $(2) | a | = 1.$

十字相乘 ​

步骤 ​

例子 ​

因式定理 ​

定理内容 ​

如何使用因式定理 ​

例子 ​

什么是根？ ​

题库 ​

(2010年1月)多项式x3+ax2+bx−6的两个一次因式是x−1和x−2,则其第三个一次因式为（） ​

(2012年1月) 若x3+x2+ax+b能被x2−3x+2整除则(). ​

(2010年10月)[ ax3−bx2+23x−6能被(x−2)(x−3)整除() ​

(2009年10月) 二次三项式x2+x−6是多项式2x4+x3−ax2+bx+a+b−1的一个因式() ​

[2009年1月]2a2−5a−2+3a2+1=−1. ​