什么是整除

写法	除法		a b	a/b
情况一	能整除	b|a	无余数	可化为整数
情况二	不能整除	b不能a	有余数	只能是分数

整除是指一个数可以被另一个数整除，而不产生余数。换句话说，如果一个整数 $a$ 能够被另一个整数 $b$ 整除，那么就说 $a$ 能够被 $b$ 整除，记作 $(a÷b)$ 或 $ (b∣a)$。\mathrm{在}\mathrm{这}\mathrm{种}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{下}，$a$ 是 $b$ 的倍数。

例如，如果 $(a=10)$ 而 $(b=2)$，则 $(a)$ 能够被 $(b)$ 整除，因为 $(10÷2=5)$，没有余数。因此，我们可以说 $10$ 是 $2$ 的倍数。

另一个例子是 $(15)$能够被 $(3)$ 整除，因为 $(5÷3=5)$，也没有余数。

然而，如果一个数不能被另一个数整除，就说它不能被那个数整除，或者说余数不为零。例如，$(7)$ 不能被 $(3)$ 整除，因为 $(7÷3)$ 会产生余数 $(1)$ 。

倍数和因数

什么是倍数

一个整数 $a$ 是另一个整数 $b$ 的倍数，意味着当 $a$ 被 $b$ 整除时，结果是一个整数而没有余数。换句话说，存在一个整数 $q$，使得 $(a=b\times q)$。

举例来说，如果$(a=12)$ 而 $(b=3)$，那么 $a$ 是 $b$ 的倍数，因为 $(12÷3=4)$，没有余数。因此，我们说 $12$ 是 $3$ 的倍数。

同样，如果 $(c=-15)$ 而 $(d=5)$，则 $c$ 也是 $d$ 的倍数，因为 $(-15÷5=-3)$，同样没有余数。

在数学中，倍数的概念经常用于讨论整数之间的关系，例如在约数、公倍数等方面。

什么是因数

一个整数的因数是能够整除该整数而不产生余数的整数。换句话说，如果整数 $a$ 能够被整数 $b$ 整除，那么 $b$ 就是 $a$ 的因数。

举例来说，考虑整数 $12$。它的因数包括 $(1,2,3,4,6)$ 和 $12$，因为这些整数可以整除 $ 12$，\mathrm{而}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{余}\mathrm{数}。\mathrm{因}\mathrm{此}，$(1, 2, 3, 4, 6)$ 和 $12$ 都是 $12$ 的因数。

注意，每个整数都至少有两个因数：$1$ 和它本身。如果一个整数除了 $1$ 和它本身之外没有其他的正因数，那么这个整数被称为质数。

什么是商？

在数学中，“商”通常指的是除法运算中的结果，即被除数除以除数所得的值。例如，在 $10÷2$ 中，商为 $5$。

判断一个数是否能够被另一个数整除

如何判断一个数是否能够被另一个数整除的方法

整除的尾数法（重要）

整除的尾数法是一种判断一个数能否被另一个数整除的简便方法。这个方法的基本原理是，如果一个数能被另一个数整除，那么它们的个位数字相同或者倍数关系特殊。以下是整除的尾数法的一些常见规则：

1. 如果一个数的个位是$(0、2、4、6、8)$，那么它能被 $2$ 整除。

2. 如果一个数的各个位数之和能被 $3$ 整除，那么它能被 $3$ 整除。 例如，假设要判断数字 $567$ 是否能被 $3$ 整除：

   1. 将 $5$ 、 $6$ 和 $7$ 相加：$5+6+7=18$。
   2. $18$ 能被 $3$ 整除，因此 $567$ 能被 $3$ 整除。

   这种方法适用于判断数字能否被 $3$ 整除，但不适用于其他数的整除性判断。

3. 一个整数 $N$ 能够被 $4$ 整除的条件是 $N$ 的末尾两位组成的整数能被 $4$ 整除。

4. 如果一个数的个位数字是 $0$ 或者 $5$ ，那么它能被 $5$ 整除。

5. 判断一个数字是否能被 $7$ 整除。一个自然数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的 $2$ 倍，如果所得的差能被 $7$ 整除，这个自然数就能被 $7$ 整除。例如:判断 $15946$ 能否被 $7$ 整除。去掉 $15946$ 的末位数字 $6$ 得 $1594$，再减去末位数字 $6$ 的 $2$ 倍 $12$ 得 $1582$ 。继续下去，去掉 $1582$ 的末位数字 $2$ 倍得 $158$，再减去末位数字 $2$ 的 $2$ 倍 $4$ 得 $154$。再继续下去，去掉 $154$ 的末位数字 $4$ 得 $15$，再减去末位数字 $4$ 的 $2$ 倍 $8$ 得 $7$。$7$ 能被 $7$ 整除，所以 $15946$ 能被$7$整除。

6. 如果一个数的个位数字是 $0$ ，那么它能被 $10$ 整除。

7. 如果一个数的个位数字是 $0$ 或者偶数，并且它的各个位数之和能被 $9$ 整除，那么它能被 $9$ 整除。

这些规则是判断整除性的一些基本方法，它们可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除，但并不适用于所有情况。在实际计算中，还需要结合其他方法和规则来进行判断。

正负性质：乘除法

负负得正。

总结

• 一个整数的因数是能够整除该整数而不产生余数的整数。
• 商是指除法运算中的结果。
• 判断整除性的一些基本方法，它们可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除，但并不适用于所有情况。在实际计算中，还需要结合其他方法和规则来进行判断。