要通过已知的几个点（坐标）来求解抛物线的方程 $y=a{x}^2+bx+c$，可以利用这些点代入方程得到方程组，然后解方程组求出 $a$、$b$ 和 $c$。以下是具体的求解步骤和案例：

步骤

1. 代入已知点：将每个已知点的坐标 $(x,y)$ 代入 $y=a{x}^2+bx+c$，得到若干个方程。
2. 求解方程组：使用这些方程组成的方程组来解出 $a$、$b$ 和 $c$。

案例

假设我们有三个已知点：$(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$。我们可以按照如下步骤求解抛物线方程。

1. 代入已知点

将点 $(1,2)$ 代入 $y=a{x}^2+bx+c$，得到：

$$2=a(1{)}^2+b(1)+c\Rightarrow a+b+c=2\text{(1)}$$

将点 $(2,3)$ 代入 $y=a{x}^2+bx+c$，得到：

$$3=a(2{)}^2+b(2)+c\Rightarrow 4a+2b+c=3\text{(2)}$$

将点 $(3,6)$ 代入 $y=a{x}^2+bx+c$，得到：

$$6=a(3{)}^2+b(3)+c\Rightarrow 9a+3b+c=6\text{(3)}$$

2. 求解方程组

我们得到以下方程组：

$$\{\begin{array}{l}a+b+c=2\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=6\end{array}$$

使用矩阵法或代入法求解这个方程组。这里用矩阵法：

将方程组写成矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 2& 1\\ 9& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$$

使用高斯消元法解这个线性方程组：

第一步，用第二行减去第一行的4倍：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& -3\\ 9& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$$

第二步，用第三行减去第一行的9倍：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& -3\\ 0& -6& -8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -12\end{array}\right)$$

第三步，用第三行减去第二行的3倍：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& -3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$$

通过回代求出 $c=3$，将 $c$ 代入第二个方程 $-2b-3=-5$，解得 $b=-1$，将 $b$ 和 $c$ 代入第一个方程 $a-1+3=2$，解得 $a=0$。

因此，抛物线的方程为：

$$y=0x^2-x+3\Rightarrow y=-x+3$$

结论

这个例子中，通过已知点 $(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$，我们求得了抛物线的表达式为 $y=-x+3$。