在数学中，组合数指的是从一组对象中选择若干个对象，而不考虑它们的顺序的方式的数量。具体来说，组合数表示的是从$ n $\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}$ r $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}。\mathrm{组}\mathrm{合}\mathrm{数}\mathrm{通}\mathrm{常}\mathrm{用}\mathrm{符}\mathrm{号}$ ( C(n,r) ) $\mathrm{或}$ ( \binom{n}{r} ) $\mathrm{表}\mathrm{示}，\mathrm{其}\mathrm{中}$ n $\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{数}，$r $表示选取的对象数。

组合数的计算公式为：

$[C(n,r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}]$

其中，$(n!)$ 表示 n 的阶乘，$( r! ) $\mathrm{表}\mathrm{示}$ r $\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{乘}，$( (n-r)! ) $\mathrm{表}\mathrm{示}$ n $\mathrm{减}\mathrm{去}$ r $\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{乘}。\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{理}\mathrm{解}\mathrm{为}，\mathrm{首}\mathrm{先}\mathrm{从}$ n $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}$ r $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}，\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{由}\mathrm{于}\mathrm{不}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{顺}\mathrm{序}，\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{除}\mathrm{以}$ r $个对象的排列数 $(r!)$。

组合数的性质

组合数具有许多有趣的性质，其中一些包括：

1. 对称性：组合数具有对称性，即 $(C(n,r)=C(n,n-r))$。这意味着，从$ n $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}$ r $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{从}$ n $\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{象}\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{剩}\mathrm{下}\mathrm{的}$ n-r $个对象的方式的数量。
2. 递推性质：组合数可以通过递推关系式进行计算。一个常见的递推关系式是杨辉三角形的性质：$(C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1))$。这个关系式表示，从 n 个对象中选择 r 个对象的方式的数量等于从 n-1 个对象中选择 r 个对象的方式的数量加上从 n-1 个对象中选择 r-1 个对象的方式的数量。
3. 组合数的乘法：组合数的乘法规则指出，如果 A 和 B 是两个不相交的集合，且 A 中有 m 个元素，B 中有 n 个元素，则 A 和 B 的并集的大小为 $(C(m+n,m))$。这个性质在组合数的问题中经常被使用。
4. 组合数的上升性：对于固定的 n，随着 r 的增加，$(C(n,r))$ 也随之增加。换句话说，从 n 个对象中选择的数量随着选择的对象数的增加而增加。

这些性质使得组合数在组合数学和概率论中具有广泛的应用。