钟文志的架构师之路

在数学中，整式（又常被称为多项式）是由变量（如x,y等）和常数（如数字5、-3等）通过加法、减法、乘法以及非负整数次幂运算组合而成的表达式。整式变量的指数必须是非负整数。，如何变量的指数是非负整数，则存在除法运算，根据定义不为整式。

$2$ 的负二次方可以表示为：

2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}

因此， $2$ 的负二次方等于 $\frac{1}{4}$ 。

整式的组成：

常数项：不包含变量的部分，如 5、-3。
变量：如 ( x ), ( y )。
系数：变量前的数字，如在 $(3 x^{2})$ 中，3 是 $(x^{2})$ 的系数。
次数：变量的最高指数称为整式的次数。例如， $(4 x^{3} + 2 x^{2} + x)$ 的次数是 3。

举例：

$2 x^{2} + 5 x - 3$ 是一个二次多项式，其中 x 是变量，2 和 5 是系数，-3 是常数项。
$x^{2} - 4 x + 4$ 是另一个二次多项式。
$3 x^{3} + 7 x$ 是一个三次多项式。

整式可以进行加法、减法、乘法和幂运算，但进行除法时（除非除数也是整式的因子），结果可能不再是整式。例如， $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 不是整式，因为这里进行了变量的除法运算。

整式的因子是指可以整除该整式的另一个整式。换句话说，如果一个整式 $f (x)$ 可以被另一个整式 $g (x)$ 整除（即存在一个整式 $h (x)$ ，使得 $f (x) = g (x) \cdot h (x)$ ，那么 $g (x)$ 就被称为 $f (x)$ 的因子。

什么是单项式和多项式

在数学中，单项式和多项式是整式的两种基本形式，它们由变量和常数通过基本运算组合而成。这里是它们的具体定义和区别：

单项式（Monomial）

单项式是只包含一个项的整式。这个项可以是一个常数，一个变量，或者变量的乘积及其幂次的乘积。单项式的特点是：

只有一个项。
变量的指数是非负整数。
不包含加号或减号连接的其他项。

例子：

$(7)$
$(x^{2})$
$(3 x y z)$
$(- 5 x^{3} y^{2})$

多项式（Polynomial）

多项式由两个或更多单项式（称为项）通过加法或减法连接组成。多项式的特点是：

包含两个或更多项。
每个项（也是单项式）间可以通过加号或减号连接。
可以按照项的次数（最高幂次）来分类，如一次多项式（线性多项式），二次多项式（二次方程的一般形式）等。

例子：

$(x^{2} - 3 x + 2)$ （二次多项式）
$(4 y - 7)$ （一次多项式）
$(x^{3} + 5 x^{2} - x + 8)$ （三次多项式）

区别：

单项式是最简单的整式，仅包含一个项。
多项式可能由多个单项式组合而成，通过加法或减法连接。

单项式和多项式都广泛应用于代数中，从基本的代数运算到解决复杂的代数方程和建模问题。它们是构建更复杂数学模型的基石。

整式的加减

合并同类项

合并同类项是代数中的一个基本操作，其目的是简化多项式表达式。同类项指的是那些变量部分相同的项，即它们具有相同的变量和相同的指数。合并同类项的过程包括将这些项的系数相加或相减。

如何合并同类项：

识别同类项：找出所有变量和变量的指数相同的项。
合并系数：对于每一组同类项，将它们的系数进行加法或减法运算。
重写表达式：用合并后的系数和共同的变量部分重写每组同类项。

示例说明：

假设我们有以下多项式：

3 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + x + 6 - 5 x

合并过程：

首先，找出所有同类项：
- $(3 x^{2})$ 和 $(- 2 x^{2})$
- $(4 x)$ 和 $(x)$ 和 $(- 5 x)$
- 常数项 $(6)$
接下来，合并每组同类项：
- $(3 x^{2} - 2 x^{2} = x^{2})$
- $(4 x + x - 5 x = 0 x)$ （实际上这个组合结果是 $(0)$ ，可以省略）
- $(6)$ （没有同类项，所以保持不变）
重写多项式：
- $(x^{2} + 6)$

通过合并同类项，原始的多项式 $(3 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + x + 6 - 5 x)$ 简化为 $(x^{2} + 6)$ 。

这种技术是解决代数问题中非常重要的一步，它有助于简化问题并使解决方案更清晰。

整式的乘法

整式的乘法是代数基础中非常重要的一部分，涉及多项式或单项式之间的乘法操作。理解整式的乘法对于解决更复杂的代数问题至关重要。下面是整式乘法的一些基本规则和例子。

基本规则

单项式乘单项式：
- 乘法包括系数相乘以及变量指数的相加。例如， $(3 x^{2}) (4 x^{3}) = 12 x^{2 + 3} = 12 x^{5}$ 。
单项式乘多项式：
- 每个多项式中的项都需要乘以单项式。例如， $3 x (2 x^{2} - 5 x + 3) = (3 x) (2 x^{2}) - (3 x) (5 x) + (3 x) (3) = 6 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x$ 。
多项式乘多项式（分配律的应用）：
- 使用分配律或所谓的FOIL方法（首项First、外项Outer、内项Inner、末项Last）来相乘，适用于两个二项式的乘法。更长的多项式可以通过逐项相乘来处理。
- 例如， $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6$ 。

示例解释

假设我们要乘以两个多项式： $(2 x^{2} - x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 。我们可以逐项相乘：

\begin{aligned} (2 x^{2} - x + 3) (x - 4) & = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (4) + (- x) (x) - (- x) (4) + (3) (x) - (3) (4) \\ = 2 x^{3} - 8 x^{2} - x^{2} + 4 x + 3 x - 12 \\ = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x - 12 . \end{aligned}

这个过程展示了如何将每个项与另一个多项式中的每个项相乘，并最后将得到的结果合并同类项

整式的除法

整式的除法是处理代数表达式的另一个基础操作，它涉及将一个多项式除以另一个多项式或单项式。这个过程可以帮助简化表达式或求解方程。下面我将解释几种常见的整式除法方法。

多项式除法定理（Polynomial Division Theorem）主要用于将一个多项式 $f (x)$ 除以一个不为零的多项式 $d (x)$ （其次数至少为1），它的基本形式是：

f (x) = d (x) \cdot q (x) + r (x)

其中：

$f (x)$ 是被除多项式，
$d (x)$ 是除式多项式，
$q (x)$ 是商多项式，
$r (x)$ 是余式多项式。

其中，余式 $r (x)$ 的次数必须小于 $d (x)$ 的次数，或者为零。

解释

多项式除法类似于整数除法的过程。整数除法中，除以一个整数可以得到商和余数，例如：
$17 \div 5 = 3 余 2$
其中 $17 = 5 \cdot 3 + 2$ ，这与多项式除法类似，只不过我们处理的是带有未知数的多项式。
商 $q (x)$ 是除法的结果，余式 $r (x)$ 是不能再进一步被整除的部分。余式的次数必须严格小于除式的次数。

实例

假设我们要用 $x - 2$ 去除多项式 $x^{2} + 3 x + 5$ ，即：

f (x) = x^{2} + 3 x + 5, d (x) = x - 2

通过多项式除法可以得到：

f (x) = (x - 2) \cdot (x + 5) + 15

其中，商 $q (x) = x + 5$ ，余式 $r (x) = 15$ 。

总结

多项式除法定理是对多项式进行除法运算的基本原理，通过这个定理，可以将一个多项式表示为除式、多项式商和余式的形式。这在代数中十分重要，尤其是在因式分解、根的计算等方面。

1. 单项式除以单项式

这是最简单的情况，涉及直接将系数相除和变量指数相减。例如：

\frac{6 x^{3}}{2 x} = 3 x^{3 - 1} = 3 x^{2}

2. 多项式除以单项式

在这种情况下，多项式的每个项都独立地除以单项式。例如：

\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x}{2 x} = x^{2} - 2 x + 3

3. 多项式除以多项式

多项式除法是将一个多项式（被除式）除以另一个多项式（除式），并得到商和余数的过程。以下是进行多项式除法的一般步骤：

步骤

排列多项式：确保被除式和除式按降幂排列。
确定首项：取被除式的首项与除式的首项相除，得到商的首项。
乘法：将商的首项乘以整个除式，并将结果写在被除式下方。
减法：用被除式减去上一步的结果，得到新的多项式。
重复：将新的多项式作为新的被除式，重复步骤 2 至步骤 4，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
结果：最终的商是所有计算中得到的商的组合，而余数就是最后得到的新被除式。

示例

假设我们要计算 $(2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5) \div (x - 1)$ 。

排列多项式：已按降幂排列。
首项相除：
- $2 x^{3} \div x = 2 x^{2}$
乘法：
- $2 x^{2} \cdot (x - 1) = 2 x^{3} - 2 x^{2}$
减法：
- $(2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5) - (2 x^{3} - 2 x^{2}) = 5 x^{2} - x + 5$
重复：
- $5 x^{2} \div x = 5 x$
- $5 x \cdot (x - 1) = 5 x^{2} - 5 x$
- $(5 x^{2} - x + 5) - (5 x^{2} - 5 x) = 4 x + 5$
- $4 x \div x = 4$
- $4 \cdot (x - 1) = 4 x - 4$
- $(4 x + 5) - (4 x - 4) = 9$
结果：
- 商为 $2 x^{2} + 5 x + 4$
- 余数为 $9$

因此，最终结果可以表示为：

(2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5) = (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 4) + 9

总结

多项式除法的结果可以用商和余数来表示，遵循上述步骤可以高效地完成多项式的除法运算。如果有具体的多项式需要计算，请提供，我可以帮助你进行详细的计算。

多项式长除法

题库

[例1] $(x^{2} - 3 x + 2 x y + y^{2} - 3 x - 40) = (x + y + m) (x + y + n)$ 则 $m^{2} + n^{2} = ()$

我们先从等式开始：

x^{2} - 3 x + 2 x y + y^{2} - 3 x - 40 = (x + y + m) (x + y + n)

首先展开右边：

(x + y + m) (x + y + n) = (x + y)^{2} + (m + n) (x + y) + m n

进一步展开：

= x^{2} + 2 x y + y^{2} + (m + n) (x + y) + m n

这表示右边的展开式为：

x^{2} + 2 x y + y^{2} + (m + n) (x + y) + m n

将左边的表达式整理为标准形式：

x^{2} + 2 x y + y^{2} - 3 x - 40

接下来将两边的式子进行对比。我们注意到在右边的展开式中， $x^{2}$ 、 $2 x y$ 和 $y^{2}$ 已经匹配。

将 $(m + n) (x + y)$ 与左边的线性项进行比较，线性项为 $- 3 x$ ，所以我们有：

m + n = - 3

常数项部分是 $m n$ ，而左边的常数项是 $- 40$ ，所以我们有：

m n = - 40

接下来我们解这组方程。设 $m$ 和 $n$ 为两个未知数：

m + n = - 3

m n = - 40

这是一个关于 $m$ 和 $n$ 的二次方程。利用求根公式可以解出：

m, n = \frac{- (m + n) \pm \sqrt{(m + n)^{2} - 4 m n}}{2}

将已知的 $m + n = - 3$ 和 $m n = - 40$ 代入：

m, n = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 (1) (- 40)}}{2}

= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}

= \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2}

= \frac{3 \pm 13}{2}

所以， $m = 8$ ， $n = - 5$ （或反过来， $m = - 5$ ， $n = 8$ ）。

现在我们要求的是 $m^{2} + n^{2}$ ：

m^{2} + n^{2} = 8^{2} + (- 5)^{2} = 64 + 25 = 89

因此， $m^{2} + n^{2} = 89$ 。

【例2】已知 $(x^{2} + p x + 8) (x^{2} - 3 x + q)$ 的展开式中不含 $x^{2}$ ， $x^{3}$ 项则 $p, q$ 的值为 $()$

我们要展开 $(x^{2} + p x + 8) (x^{2} - 3 x + q)$ ，并确保其中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 项。

首先进行多项式的展开：

(x^{2} + p x + 8) (x^{2} - 3 x + q) = x^{2} (x^{2} - 3 x + q) + p x (x^{2} - 3 x + q) + 8 (x^{2} - 3 x + q)

逐项展开：

$x^{2} (x^{2} - 3 x + q) = x^{4} - 3 x^{3} + q x^{2}$
$p x (x^{2} - 3 x + q) = p x^{3} - 3 p x^{2} + p q x$
$8 (x^{2} - 3 x + q) = 8 x^{2} - 24 x + 8 q$

将这些项相加：

x^{4} - 3 x^{3} + q x^{2} + p x^{3} - 3 p x^{2} + p q x + 8 x^{2} - 24 x + 8 q

现在将同类项合并：

$x^{4}$ 项为： $x^{4}$
$x^{3}$ 项为： $- 3 x^{3} + p x^{3} = (p - 3) x^{3}$
$x^{2}$ 项为： $q x^{2} - 3 p x^{2} + 8 x^{2} = (q - 3 p + 8) x^{2}$
$x$ 项为： $p q x - 24 x = (p q - 24) x$
常数项为： $8 q$

根据题目条件，展开式中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 项，因此：

$p - 3 = 0$ （使得 $x^{3}$ 项为零）
$q - 3 p + 8 = 0$ （使得 $x^{2}$ 项为零）

从第一个方程可以解得：

p = 3

将 $p = 3$ 代入第二个方程：

q - 3 (3) + 8 = 0

q - 9 + 8 = 0

q = 1

因此， $p = 3$ ， $q = 1$ 。

最终答案为 $p = 3$ ， $q = 1$ 。

【例4】若 $(x^{4} + x^{3} + a x^{2} + b x - 1) \div (x^{2} + x + 1)$ ,余式为 $2 x - 5$ ，则 $a + b = ()$ 。

我们有如下多项式除法问题：多项式 $x^{4} + x^{3} + a x^{2} + b x - 1$ 除以 $x^{2} + x + 1$ 的余式为 $2 x - 5$ 。根据多项式除法定理，余式的次数应小于除式的次数，因此，余式为 $2 x - 5$ ，是一个一次多项式。

设商式为 $Q (x)$ ，则我们可以表示为：

x^{4} + x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = (x^{2} + x + 1) Q (x) + (2 x - 5)

接下来，我们将尝试进行多项式除法，首先假设商式 $Q (x)$ 的形式为二次多项式：

Q (x) = x^{2} + c x + d

现在我们计算 $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + c x + d)$ ，具体如下：

(x^{2} + x + 1) (x^{2} + c x + d) = x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + x^{3} + c x^{2} + d x + x^{2} + c x + d

合并同类项后，得到：

x^{4} + (c + 1) x^{3} + (d + c + 1) x^{2} + (d + c) x + d

现在，将其与原多项式进行对比：

x^{4} + x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = x^{4} + (c + 1) x^{3} + (d + c + 1) x^{2} + (d + c) x + d + (2 x - 5)

整理得到：

x^{4} + x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = x^{4} + (c + 1) x^{3} + (d + c + 1) x^{2} + (d + c + 2) x + (d - 5)

接下来，比较各项的系数，首先比较 $x^{3}$ 项：

c + 1 = 1 \Rightarrow c = 0

然后比较 $x^{2}$ 项：

d + c + 1 = a \Rightarrow d + 1 = a \Rightarrow a = d + 1

再比较 $x$ 项：

d + c + 2 = b \Rightarrow d + 2 = b \Rightarrow b = d + 2

最后比较常数项：

d - 5 = - 1 \Rightarrow d = 4

因此， $a = d + 1 = 4 + 1 = 5$ ， $b = d + 2 = 4 + 2 = 6$ 。

因此， $a + b = 5 + 6 = 11$ 。

最终答案为：11

已知 $M = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}) (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n})$ $N = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1})$ ，则 $M > N$ .

$(1) a_{1} > 0 .$ (2) $a_{1} a_{n} > 0$ .

在解代数方程时，如果方程包含复合函数或高次幂，可以通过引入新变量来简化方程。例如，考虑方程：

x^{4} + 6 x^{2} + 25 = 0

这里，我们可以设 $u = x^{2}$ 。这样，方程就变成了：

u^{2} + 6 u + 25 = 0

这是一个二次方程，可以用二次公式求解。求解后，再将 $u = x^{2}$ 代回，求得 $x$ 的值。

整式的组成： ​

举例： ​

什么是单项式和多项式 ​

单项式（Monomial） ​

多项式（Polynomial） ​

整式的加减 ​

合并同类项 ​

如何合并同类项： ​

示例说明： ​

合并过程： ​

整式的乘法 ​

基本规则 ​

示例解释 ​

整式的除法 ​

解释 ​

实例 ​

总结 ​

1. 单项式除以单项式 ​

2. 多项式除以单项式 ​

3. 多项式除以多项式 ​

步骤 ​

示例 ​