钟文志的架构师之路

什么是最大公因数

最大公因数，是指两个或多个整数共有的最大的因数。

举例来说，对于整数 $12$ 和 $18$ ，它们的共有因数有 $1 、 2 、 3 、 6$ ，其中最大的是 $6$ ，因此 $6$ 是 $12$ 和 $18$ 的最大公因数。

最大公因数在数学中有广泛的应用，例如简化分数、解方程、化简根式等。计算最大公因数的常见方法有辗转相除法、质因数分解法和更相减损术等。

在数学表达中，可以用以下符号表示最大公因数：

若给定两个整数 $a$ 和 $b$ ，它们的最大公因数通常表示为 $GCD (a, b)$ 或 $(a, b)$ 。
若有多个整数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ ，它们的最大公因数通常表示为 $GCD (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ 或 $(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ 。

这些表示方法在数学书籍、论文和计算机编程中经常用到。

什么是最小公倍数

最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小的倍数。

举例来说，对于整数 $6$ 和 $8$ ，它们的倍数分别为 $6 、 12 、 18 、 24 、 30. . .$ 和 $8 、 16 、 24 、 32 、 40. . .$ ，可以看到它们共有的最小倍数是 $24$ ，因此 $24$ 是 $6$ 和 $8$ 的最小公倍数。

最小公倍数在数学中也有广泛的应用，例如比较分数大小、求解同周期的重复事件等。计算最小公倍数的方法通常有列举法、质因数分解法等。

在数学中，最小公倍数通常用符号 "LCM"（Least Common Multiple）表示。可以用以下方式表示最小公倍数：

若给定两个整数 $a$ 和 $b$ ，它们的最小公倍数通常表示为 $LCM [a, b]$ 。
若有多个整数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ ，它们的最小公倍数通常表示为 $LCM [a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}]$ 。

这些表示方法在数学书籍、论文和计算机编程中经常用到。

求两个数的最大公因数和最小公倍数

求两个数的最大公因数和最小公倍数可以使用不同的方法，下面是两种常用的方法：

求最大公因数

* 一种常见的方法是使用辗转相除法（欧几里德算法）。该算法的步骤如下：
  1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。
  2. 将较小的数与余数再次进行除法，直到余数为零。
  3. 此时，被除数即为最大公因数。
* 另一种方法是因式分解。将两个数分解成质因数的乘积，然后找出它们共有的质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。

案例

假设我们要计算 $48$ 和 $18$ 的最大公因数。

步骤

初始值：将较大的数作为被除数，较小的数作为除数。
- 被除数： $48$
- 除数： $18$
进行除法运算：
- $48 \div 18 = 2 余 12$
- 因此，我们可以写成： $48 = 18 \times 2 + 12$
更新数值：将除数和余数重新赋值。
- 新的被除数： $18$
- 新的除数： $12$
重复步骤：
- $18 \div 12 = 1 余 6$
- $18 = 12 \times 1 + 6$
继续更新：
- 新的被除数： $12$
- 新的除数： $6$
再次重复：
- $12 \div 6 = 2 余 0$
- $12 = 6 \times 2 + 0$
结束条件：当余数为 0 时，当前的除数即为最大公因数。
- 这里，最大公因数 GCD(48, 18) = 6。

求最小公倍数

求两个数的最小公倍数（LCM）有几种方法，以下是其中的两种常见方法：

质因数分解法：
- 分解每个数为其质因数的乘积。
- 取每个质因数的最大指数，然后将这些质因数相乘，得到的结果就是最小公倍数。

案例

对于数字 $12$ 和 $15$ ：

12 = (2^{2} \times 3^{1})

15 = (3^{1} \times 5^{1})

质因数： $2 、 3 、 5$

最高次幂： $(2^{2})$ 、 $(3^{1})$ 、 $(5^{1})$

L C M = (2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} = 60)

公式法：

一种方法是利用最大公因数。使用以下关系求得最小公倍数：

[LCM (a, b) = \frac{a \times b}{GCD (a, b)}]

案例

$15$ 除以 $12$ ，商是 $1$ ，余数是 $3$ 。
$12$ 除以 $3$ ，商是 $4$ ，余数是 $0$ 。
因此，最小公倍数是 $60$ 。

[LCM (a, b) = \frac{12 \times 15}{GCD (3)}]

在这个例子中，两种方法都得到了相同的答案，即60。

总结

最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的因数。
最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小的倍数。
求最大公因数的办法有欧几里德算法和分解质因数乘积法。
求最小公倍数有公式法、质因数分解法、短除法。

题库

求（28，42）和[28，42]。

【分析】我们可以通过计算 $28$ 和 $42$ 的最大公因数和最小公倍数来得出答案。

【详解】首先， $28 ＝ 2 \times 2 \times 7$ ，而 $42 ＝ 2 \times 3 \times 7$ ，所以 $28$ 和 $42$ 的最大公因数是 $2 \times 7 ＝ 14$ 。而最小公倍数是 $2 \times 2 \times 3 \times 7 ＝ 84$ ，因此， $（ 28 ， 42 ）＝ 14 ， [28 ， 42] ＝ 84$ 。

50能被25整除，25能被5整除，所以50是25和5的（）?

【分析】整除的定义为：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除。【详解】因为50÷25＝2，所以50能被25整除；因为25÷5＝5，所以25能被5整除；所以50是25和5的公倍数。

若整数n既能被6整除，又能被8整除，则它还可以被下列哪一项整除

A.10 B.12 C.14 D.18 E.22

如果整数n既能被6整除，又能被8整除，那么n一定是6和8的公倍数。6和8的最小公倍数是24（因为 $6 = 2 \times 3$ ， $8 = 2 \times 2 \times 2$ ，所以最小公倍数是 $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$ ）。因此，n至少能被 $24$ 整除。在给出的选项中，12是24的因数，所以n也能被12整除。所以，答案是 $B .12$ 。

整数n是140的倍数

(1)n是10的倍数 (2)n是14的倍数

【分析】题目要求判断两个条件是否充分地证明整数n是140的倍数。首先，理解条件(1)和(2)，它们分别指出n是10和14的倍数。然后，需分析这两个条件能否保证n同时是10和14的公倍数，即140的倍数。【详解】 140可以分解为10和14的乘积，即140 = 10 * 14。因此，若n同时是10和14的倍数，则n必定是它们的最小公倍数140的倍数。根据条件(1)，n是10的倍数，根据条件(2)，n是14的倍数。因此，若n同时满足条件(1)和条件(2)，则n同时为10和14的倍数，即n必定是140的倍数。【点睛】综上所述，当n满足条件(1)和条件(2)，即n既是10的倍数，又是14的倍数时，n一定是140的倍数。因此，两个条件联合起来是充分的。