钟文志的架构师之路

常见比例问题的设份数法

在解决常见比例问题时，设份数法是一种常用的方法。它通常涉及将问题中的某些量表示为一个变量的倍数。以下是一些常见类型的比例问题以及如何使用设份数法解决它们的示例：

简单比例问题：如果甲乙两人一起做一件事需要5个小时，甲单独做需要8个小时，那么乙单独做需要多少小时？
设甲每小时完成 $x$ 个单位的工作量，因此乙每小时完成 $(1 - x)$ 个单位的工作量。根据题意，甲乙一起做一件事需要的总工作量是相同的，因此可以建立方程：
$5 x = 8 (1 - x)$
解这个方程可以得到 $x$ 的值，从而确定乙单独完成这件事所需要的时间。
与价格有关的比例问题：一件商品原价100元，现以原价的四分之三出售，打几折？
设折扣率为 $x$ ，则打折后的价格为 $100 \times (1 - x)$ 。根据题意，打折后的价格为原价的四分之三，因此可以建立方程：
$100 \times (1 - x) = \frac{3}{4} \times 100$
解这个方程可以得到 $x$ 的值，从而确定打几折。
人数比例问题：某班级男生与女生的比例是3:5，如果增加10名男生和20名女生后，男生与女生的比例变为2:3，原班级共有多少名学生？
设原班级中男生的人数为 $3 x$ ，女生的人数为 $5 x$ ，则增加后男生的人数为 $3 x + 10$ ，女生的人数为 $5 x + 20$ 。根据题意，可以建立方程：
$\frac{3 x + 10}{5 x + 20} = \frac{2}{3}$
解这个方程可以得到 $x$ 的值，从而确定原班级共有多少名学生。

通过设份数法，将问题中的未知量表示为一个变量的倍数，然后根据题意建立方程，最后解方程得到未知量的值，可以比较容易地解决各种比例问题。

常见比例问题的"设未知数法"是一种常用的解题方法，它通常涉及将问题中的未知量设为一个变量，并根据问题的条件建立方程，然后解方程求解未知数。以下是几个常见类型的比例问题以及如何使用设未知数法解决它们的示例：

简单比例问题：如果甲乙两人一起做一件事需要5个小时，甲单独做需要8个小时，那么乙单独做需要多少小时？
设乙单独做这件事需要的时间为 $y$ 小时，则甲乙一起做这件事的效率为 $\frac{1}{8} + \frac{1}{y}$ 。根据题意，甲乙一起做这件事的效率为 $\frac{1}{5}$ ，因此可以建立方程：
$\frac{1}{8} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$
解这个方程可以得到 $y$ 的值，即乙单独做这件事需要的时间。
与价格有关的比例问题：一件商品原价100元，现以原价的四分之三出售，打几折？
设打折率为 $x$ ，则打折后的价格为 $100 \times (1 - x)$ 。根据题意，打折后的价格为原价的四分之三，因此可以建立方程：
$100 \times (1 - x) = \frac{3}{4} \times 100$
解这个方程可以得到 $x$ 的值，即打几折。
人数比例问题：某班级男生与女生的比例是3:5，如果增加10名男生和20名女生后，男生与女生的比例变为2:3，原班级共有多少名学生？
设班级中男生的初始人数为 $3 x$ ，女生的初始人数为 $5 x$ ，则增加后男生的人数为 $3 x + 10$ ，女生的人数为 $5 x + 20$ 。根据题意，可以建立方程：
$\frac{3 x + 10}{5 x + 20} = \frac{2}{3}$
解这个方程可以得到 $x$ 的值，即班级中初始的学生人数。

通过设未知数法，将问题中的未知量设为一个变量，并根据题意建立方程，最后解方程求解未知数，可以比较容易地解决各种比例问题。

"公共量化连比"是指一种在连续比例中，通过一个公共量化单位来量化每个比例之间的关系。这在某些数学问题中很有用，特别是涉及连续变化的情况。

假设有三个数： $A, B, C$ ，它们之间的比例为 $k_{1} : k_{2} : k_{3}$ 。那么，如果我们知道一个数增加了 $x$ 个单位，我们可以使用公共量化单位来表示其他数相对于这个增加量的变化。

让我们以一个简单的例子来说明：

假设原始比例是 $2 : 3 : 5$ 。我们知道 $A$ 增加了 $6$ 个单位。那么，如何找到 $B$ 和 $C$ 的增量？

首先，我们需要将增加量 $6$ 根据比例分配给 $B$ 和 $C$ 。我们可以将这个增加量量化为公共单位，然后根据比例分配。

原始比例中的总单位数量为 $2 + 3 + 5 = 10$ 。所以每个单位相当于 $6 / 10 = 0.6$ 。

现在， $B$ 相对于 $A$ 的比例是 $3 : 2$ ，所以 $B$ 的增加量为 $0.6 \times 3 = 1.8$ 。

同样， $C$ 相对于 $A$ 的比例是 $5 : 2$ ，所以 $C$ 的增加量为 $0.6 \times 5 = 3$ 。

因此， $B$ 增加了 $1.8$ 个单位， $C$ 增加了 $3$ 个单位。

这个方法的关键是将增加量量化为一个公共单位，然后按照比例分配给其他数。这样可以更方便地处理连续比例中的变化。