等比数列的求和公式用于计算等比数列前 $n$ 项的和。等比数列的形式为：

$$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,\dots ,a{r}^{n-1}$$

其中：

• $a$ 是首项
• $r$ 是公比
• $n$ 是项数

等比数列求和公式

当 $r\ne 1$ 时，前 $n$ 项的和 $S_n$ 可以用以下公式计算：

$$S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}$$

当 $r=1$ 时，所有项相等，前 $n$ 项的和为：

$$S_n=na$$

示例

1. 公比不等于 1 的情况：

   • 设 $a=2$，$r=3$，求前 4 项的和：
   $$S_4=2\frac{1-3^4}{1-3}=2\frac{1-81}{-2}=2\cdot 40=80$$

2. 公比等于 1 的情况：

   • 设 $a=5$，求前 3 项的和：
   $$S_3=3\cdot 5=15$$

总结

等比数列的求和公式非常实用，特别是在处理金融、物理等领域的相关问题。